Le Tore Plat et sa modélisation en 3D (partie 1)

Cela vous a sans doute échappé, mais il se trouve que l’année dernière, une équipe de mathématiciens-informaticiens, composée de Saïd Jabrane, Vincent Borrelli (tous deux membres de l’institut Camille Jordan de Lyon 1), Damien Rohmer de C.P.E. Lyon, Francis Lazarus du C.N.R.S. de Grenoble et Boris Thibert du Laboratoire Jean Kuntzmann de Grenoble, s’est retrouvée publiée dans une grande revue scientifique. Ce sont les premières personnes dans l’histoire à avoir représenté en 3D un plongement isométrique du tore plat dans R3.

thor

Ce projet s’appelle Hévéa (si par hasard, pris de passion pour mon article vous ne pouvez attendre la suite). Dans ces deux articles, nous verrons ce que cette phrase absolument immorale en termes de compréhensibilité veut dire, mais aussi pourquoi une simple modélisation 3D est en quelque sorte un exploit.

Mais attaquons-nous d’abord à la compréhension du problème. Et puis en fait, c’est quoi un tore plat ? De prime abord, un tore, c’est une surface dont l’exemple le plus immédiat et le plus connu de tous (notamment d’Homer Simp-son) est le donut. Et non, mesdemoiselles, ce n’est pas un beau blond avec une cape rouge et un marteau nommé M jollnir. Seulement voilà, le tore plat, c’est ça, mais en fait non.

Pas de panique, je m’explique.

Pour les mathématiciens, un tore plat, c’est R2 quotienté par Z2. Pour les non-mathématiciens, prenez un carré (au sens figuré). On va admettre que ses côtés opposés vont se correspondre deux à deux. Vous me suivez ? Un peu comme le jeu Snake des vieux portables. Quand vous touchez un côté, vous ressortez du côté opposé. Bah voilà. Maintenant, imaginez que ce carré se balade en trois dimensions. Il est là, tranquille, il va acheter son pain et des croissants, etc. Imaginez-le bien droit face à vous et arrêtez de le voir marcher et draguer la boulangère. Ses deux côtés vns procéder de la même ma-nière ! Ce cylindre va donc « s’enrouler » pour former, lorsque les deux cercles extrémaux vont se rejoindre, un… TORE ! Voilà ! Le tore plat, c’est en fait un donut, mais vu comme un carré dont les côtés opposés se correspondent.

tore plat 2« Aha ! Mais ton truc, là, il casse pas trois pattes à un cygne ! » (J’ai une dent contre les cygnes en ce moment, alors que les canards ça va…), me direz-vous ! Et je vous répondrai que si c’était si simple, je n’écrirais pas pour vous le présenter. Attention, niveau bonus : mode Enfer activé.

On va passer à la pratique. Reprenons ce carré, mais cette fois découpé dans une feuille de papier. On en fait un cylindre. Voilà, c’est bien. Pas de problème jusque-là ? Bien. Et maintenant on en fait un tore. Pardon ? La feuille elle veut pas ?Mais pourtant ça marchait bien dans votre tête ?

tore plat 3

Ah mais voilà. L’imagination, c’est bien. Par contre, elle a un peu tendance à mettre de côté les lois de la physique. Parce que dans votre tête, les transformations que vous avez faites ne conservent pas les longueurs. Et en y regardant de plus près, c’est bien normal. Lors du repli de ce cylindre dans votre tête, vous pouvez constater que le cercle« le plus à l’intérieur » du tore (en bleu dans l’image de droite) mesure bien moins que celui se trouvant « le plus à l’extérieur » (en rouge sur la même image).

Redépliez-le pour revenir au cylindre. Et PAF ! « De même longueur, elles sont », aurait dit Yoda ! C’est beau l’imagination, hein ? Et voilà donc pourquoi le cylindre de papier ne veut pas se replier dans la réalité.

Voilà la difficulté. Cette modélisation doit représenter le tore plat, vu dans sa forme tridimensionnelle, avec conservation des longueurs. Pour être clair, un centimètre pris sur le tore plat doit mesurer un centimètre sur son plongement tridimensionnel. Cette propriété se retrouve dans la phrase démoniaque du début de l’article, par le terme « isométrique ». Croyez-moi, ce n’est pas de la tarte ! Mais nous verrons dans le prochain numéro (textuellement et EN IMAGES) ce que les mathématiciens ont fait pour venir à bout de ce problème, et à quoi peut donc ressembler cette chose dont je parle depuis le début.

Rémi Vaucher

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