L’horloge annonce presque deux heures de l’après-midi, toute la famille a bien mangé, vient le moment du dessert. On apporte tout naturellement une galette des rois, on la pose au milieu de la table, on choisit un bon couteau bien tranchant et on commence la découpe, quand soudain… Bim… la fève tombe sous la lame faisant la déception des plus grands et la joie des plus petits (parce que oui, on sait pertinemment qui aura le droit de porter la couronne du coup…). Mais, avec 6 personnes autour de la table, était-ce prévisible ? De quoi donc dépend la probabilité de couper la fève lors du partage ? Penchons-nous un peu sur la question, histoire de digérer correctement… 

Un problème plus complexe qu’il n’y parait… 

Intuitivement, on peut dégager trois paramètres qui vont influencer notre probabilité à faire un massacre dans la galette : la taille de la fève, sa position dans la galette et le nombre de parts coupées. Ce dernier est même très logique : plus on découpe, plus on a de chance de découper la fève… Et après ? Lequel a le plus d’influence ? Allez, direction l’ordinateur pour étudier la question en faisant quelques simulations… 

Posons tout d’abord quelques hypothèses de travail afin de pouvoir faire un modèle assez simple à comprendre : 

• Nous allons considérer une galette de 30 centimètres de diamètre que nous pourrons découper tous les degrés (ce sera un disque parfait) par un couteau extra fin (découpage le long d’une droite) 
• La découpe se fera de manière homogène (au revoir les gourmands, pas de parts plus grosses que les autres) 
• La taille de la fève correspondra à son plus grand côté qui sera parallèle à la tangente au rayon passant par le milieu de ce côté (trop de mots compliqués ?  -> Voir la figure 2) 
• Enfin, la fève se situera au moins à 1 centimètre du centre de la galette (histoire d’abréger un peu des calculs inutiles) 

Avec le cadre d’étude tout fraîchement posé, nous allons donc essayer d’estimer trois probabilités : 

• A taille de fève et nombre de parts constants, l’influence de la position de la fève dans la galette 
• A position de la fève et nombre de parts constants, la variation due à la taille de la fève  
• A taille et position constantes de la fève, l’évolution corrélée au nombre de parts découpées 

Le modèle 

Un des premiers problèmes rencontrés est d’arriver à estimer la taille apparente de la fève. En effet, nous considérons que la galette est un disque parfait et donc que son périmètre couvre l’entièreté des angles de 1 à 360°. On cherche donc à savoir quelles proportions de ce périmètre est dans le « cône d’ombre » de la fève. Et oui, direction les cours d’optique ! Une formule, et hop, le tour est joué, nous avons donc obtenu la taille angulaire de la fève. 

δ=2∗ arctan (d/2D) 

Remarquons au passage la dépendance à sa position et sa taille réelle, nous sommes donc sur la bonne voie ! 

Le modèle est donc déterminé, direction la simulation. Un peu de code sous Pythonⁱ permet d’obtenir ce que l’on cherche. L’aléatoire ici va donc porter sur la position de la fève dans la galette, c’est-à-dire, en utilisant les éléments du modèle, la plage d’angle entre 1 et 360° qui sont recouverts par la taille angulaire de la fève. Il suffit ensuite de « découper », i.e. déterminer quels angles sont concernés par le passage du couteau. Pour savoir si la fève est coupée : un test. Pour connaître la probabilité : répétition 100 000 fois de l’expérience et approximation par la moyenne. 

Et les résultats ? 

Nous fixons donc une fève à 10 cm du centre de notre galette et on la coupe en 6 parts. La taille de notre fève varie entre 1 et 5 cm. Eh bien le résultat est sans appel, plus la fève est grosse, plus la probabilité de la couper est grande (figure 3). Notre intuition est par conséquent bien vérifiée. L’utilisation des mathématiques permet de dégager quelques points remarquables (nous n’avons pas fait tout ce travail de codage pour démontrer une chose triviale quand même). Déjà, les probabilités sont loin d’être nulles ! Même une fève de 1 cm perdue aux deux tiers d’une galette de 30 cm de diamètre se fait décapiter environ 1 fois sur 10 ! Et cela augmente fort puisque à la même position une fève de 5 cm y passe environ 1 fois sur 2 … De plus, l’augmentation est linéaire, étonnant non ? Pas de complexe loi de probabilité qui se cache derrière, seulement une augmentation de la plus simple des manières. Première conclusion : choisir une petite fève ! 

Deuxième question : combien de personnes pour manger la galette ? Même constat très logique que précédemment : plus on coupe la galette, plus la chance de faire de la scissiparité de fève est augmentée (figure 4). Cependant, la dépendance au nombre de parts est moins forte et on s’approche d’une corrélation parfaite : un doublement de celui-ci entraine quasiment un doublement de la probabilité. Notons ici que le graphique est encore plus remarquable : c’est une droite parfaite ! (Pour rappel, les probabilités sont les moyennes de 100 000 répétitions de l’expérience de coupe !)  Deuxième conclusion, il ne faut pas être trop nombreux à vouloir être sacré par la galette… 

Et le boulanger dans l’histoire ? Comment sa manière de placer la fève dans la galette va influencer le sacre de la petite sœur ou du petit frère ? Si on considère que 6 personnes sont autour d’une galette contenant une fève de 3 cm de plus grand côté, par simulation de la position de celle-ci, on obtient le graphique suivant (figure 5). Là, nous sommes d’accord, nous nous éloignons très fortement des droites des deux autres probabilités. Décortiquons un peu ce qu’il se passe : logiquement, tant que la distance entre la fève et le centre n’est pas supérieure à la taille de la fève, la décapitation est immédiate. Puis, dégringolade exponentielle de la probabilité pour obtenir 20 % de chances de la couper si elle se trouve sur un bord. Les plus férus de maths d’entre vous auront remarqué une distribution de Poisson (je parle bien sûr du mathématicien célèbre et pas de Némo…).  D’ailleurs, pour conforter notre découverte, passons les échelles au logarithme : une droite ! (Figure 6). Conclusion, la probabilité de couper la fève dans une galette suivant sa position suit une loi de Poissonⁱⁱ. La loi des évènements rares donc. Enfin, pas si rare que ça visiblement car c’est encore la petite sœur qui a la fève… Il n’empêche que la leçon que les boulangers pourront retenir, c’est qu’il faut placer la fève à environ deux tiers du rayon de la galette pour ne pas (trop) condamner celle-ci à une découpe quasi inévitable.

Bref, si vous n’êtes pas déjà en train de dormir, alors il serait peut-être temps : il parait qu’on digère mieux en faisant une petite sieste !

Sébastien LHOUMEAU 

Jeudi 29 Novembre 2018 se déroulait pour la deuxième année consécutive le « Concert pour les étudiants » organisé par l’auditorium de Lyon. Retour sur cette magnifique prestation de l’Orchestre national de Lyon qui a séduit plus de 2000 spectateurs et spectatrices.

Un concert singulier et magique

Cette soirée a été l’opportunité pour nous, étudiants, de découvrir ou redécouvrir à la fois un cadre de concert tout à fait sublime mais aussi des compositeurs et des pièces ou encore des instruments.

En effet, ce concert à mis particulièrement en valeur un instrument bien trop souvent méconnu du grand public : l’orgue. L’Auditorium de Lyon peut en effet se vanter de posséder, hors de Paris, le seul grand orgue de salle de concert en France. Construit pour l’exposition universelle de 1878, il ne comprend pas mois de 82 jeux et 6400 tuyaux en faisant une véritable œuvre d’art.   Les plus grands musiciens se sont bousculés à la console de cet orgue révélant au grand public bon nombre de pièces maitresses conçues pour cet instrument. Restauré en 2013, il sonnait pour ce concert sous les doigts de Iveta Apkalna qui a su mettre en valeur toute sa puissance et sa qualité sonore dans une salle à l’acoustique remarquable.

Sous la direction de Ricardo Minasi et fort de 104 musiciens permanents, l’Orchestre national de Lyon a parfaitement été à la hauteur d’une telle représentation et a mis des étoiles dans les yeux (ou plutôt dans les oreilles) de leurs spectateurs célébrant au passage leur 113 ans d’existence. Ce concert a donc été pour les musiciens l’occasion de fêter l’anniversaire de ce si grand orchestre qui est très apprécié pour sa qualité très française de sa sonorité et qui se produit internationalement. Pouvoir prendre place gratuitement dans la salle a donc été un réel plaisir et restera gravé dans la mémoire de bon nombre d’entre nous.

Une programmation bien orchestrée

Le déroulement de la soirée à été bien choisi, permettant de voyager au travers des époques différentes entre elles.

Nous avons commencé par entendre un Concerto pour orgue et orchestre de chambre de Paul Hindemith (la Kammermusik n°7). Cette pièce contemporaine (composée en 1927) m’a, à vrai dire, beaucoup surpris. N’affectionnant pas particulièrement cette époque de la musique dite « classique » du fait de nombreuses dissonances qui peuvent être présentes dans les œuvres, celle-ci aura pourtant eu le mérite de me faire apprécier une musique post-XIXème. En effet, Hindemith a repris les codes d’époque plus anciennes en y incorporant un langage plus moderne, évitant une radicale coupure et conservant de belles lignes mélodiques très agréables à l’oreille.

Nous avons ensuite été porté par la voix de Kate Aldrich (mezzo-soprano) qui à interpréter trois des cinq Poèmes de Mathilde Wesendonck orchestrés par Richard Wagner. Etant un grand adepte de la musique Wagnérienne et notamment de ses nombreux opéras, je n’ai eu d’autres choix que d’être totalement conquis par la qualité de la prestation de la soliste qui a su retranscrire, grâce à un accompagnement parfait de l’ONL, toute la puissance de l’écriture de Wagner.

Enfin, nos oreilles n’ont à peine eu le temps de se reposer avant la pièce maitresse de ce concert : la symphonie n°3 de Camille Saint-Saëns. Très connu pour des pièces comme « Le carnaval des animaux » ou encore « la danse macabre », La troisième symphonie de ce compositeur requiert un effectif des plus impressionnant. L’orchestre était en effet secondé à la fois par l’orgue mais aussi le piano, instruments qui sont jusqu’au début de son époque inconnu des effectifs symphoniques. Transpirant le postromantique de Beethoven et de Liszt, cette œuvre magistrale a permis de conclure la soirée dans une ambiance épanouissante.

Finir n’est pas vraiment le bon terme, puisqu’à l’issue la symphonie, une étudiante a été tirée au sort pour avoir la chance de remplacer le kappellmeister aux commandes de l’ONL. Cette tradition lors du bis ce concert particulier augmente l’interaction entre le public et l’orchestre et permet de sensibiliser encore plus nous étudiants à cette musique, si riche en diversité.

Sébastien LHOUMEAU